拓樸相變

一碰到這詞兒，就想到《鹿鼎記》 中的對白「什麼什麼之中，什麼什麼之外」，康熙對韋小寶說：「這個太難了，不教你」。

無如當媒體採訪我同行關於 2016 物理諾貝爾獎的得獎內容時，幾乎每個媒體記者採訪所得的都是劃錯重點，有的講成二維系統的，有的講成量子計算，更多的是不知所云。所以覺得應該說清楚，畢竟這是物理中最大次領域－凝態物理 (condensed matter)－的新典範。

先講相變 (phase transition) 。學過國中物理的當知水有三態，或者是三相：固態、液態、氣態。每一種相它的基本組成物質都是水分子，但是分子與分子之間組成結構的秩序不同。至少會燒開水的、或者到冰箱做冰塊的也知道，溫度是將一種秩序轉變成另一種秩序的主要參數。從一個相轉變成另一個相，就是相變。凝態物理就是研究各類物質的秩序狀態，以及其對電、磁、熱、光幅射、壓力等外來刺激的反應。

拓樸 (topology) 是屬於傳統數學分類－代數 (algebra)、幾何 (geometry)、分析 (analysis)－中幾何範疇下的一個大領域。拓樸有興趣的問題是一個抽象空間－譬如二維球面 (2-sphere) 或二維環面 (torus；把一張紙先將對邊粘貼形成一空圓柱，再將此空圓柱的兩邊圓口對粘，粘後形狀像甜甜圈) －中的不變量 (invariant)。講不變量，當然是有些東西改變、有些東西不變。像前述的二維球－假想是橡皮做的，可以將之拉長、扭曲等，只要不要有斷裂、切口、粘貼，上面用馬克筆劃的線長度也可能隨之改變，但是有些性質是不變的。譬如在球面上劃一圓，不管球面怎麼變形，這個圓總是可以連續的縮小成一點。但是在二維環上畫的圓，有些可以縮成一點，有些就不可以，而且這些性質在二維環面扭曲變形下也是不變的－給自己一個好理由買盒甜甜圈試試。拓樸可以完全無視於距離測量 (metric) 的概念。這些拓樸不變量有些是可以計算而得的，這門計算拓樸不變量的學問叫代數拓樸 (algebraic topology)，陳省身先生就是代數拓樸的大師，現在做拓樸相變的人總要提起他－Chern-Simons term，Chern 就是陳先生，Simons 是他弟子。令人覺得很有趣的是代數拓樸計算所得的不變量通常是整數，這使人馬上聯想到物理量的量子化 (quantization)。

凝態物理主要的興趣之一是研究物質狀態秩序的形成。二十世紀的大部份時間，研究的主軸都是以物質的對稱性 (symmetry) 為軸心，這也是其它物理領域的慣用手法，譬如高能物理。每一種相其相對應的對稱性不同，通常是高溫的相對稱性高些。譬如鐵磁物質，在其居里溫度 (Curie temperature) 以上是沒有磁性的。在居里溫度以下因為沒有太多的熱能擾動，每個分子中的電子自旋矩 (可以想像成電子的小磁鐵) 因量子效應就整齊排列起來，形成一個大磁矩，物質因而帶有磁性。居里溫度以上是高溫相，譬如具有轉動對稱；居里溫度以下是低溫相，轉動對稱因鐵磁給定了一特定方向而消失了。以行業術語來說，這個相出現了一個秩序參數 (order parameter) 。在上述的鐵磁物質中，高溫相的秩序參數為零，而低溫相的秩序參數為其磁化。這是蘇聯大物理學家藍道 (Landau) 給的物理圖像。

廿世紀下半葉，高能物理走入更深邃的抽象世界。特別是弦論的興起，將大量的高等數學工具引入，譬如代數拓樸、代數幾何等。有的在高能物理開花結果，有的逐漸移轉到凝態物理中，賦予這些工具新的意義，拓樸相變就是從其中生發的新概念。

講物質的拓樸相變，首先不是指物質在真實空間的拓樸性質。凝態物體的焦點之一是物質其中的電子。一個電子的行徑及物理特性當然可以用其在真實空間的座標來描述，但是也可以用電子的動量 (momentum) 來描述，這是一個在數學及物理上都較方便的方法。由電子的動量構成的空間叫做相空間 (phase space)，相空間的基本三個座標軸－三個方向的動量－就是此相空間的三個維度。相空間也可以加入其它的相關物理量譬如溫度、電場、磁場、應變 (strain) 等參數形成更高維度的相空間。在相空間中繪畫能量與動量的關係式就可以輕易的看出這物質是否是導電的或是絕緣的。

拓樸相變中的「拓樸 」指的是物質相空間的拓樸性質。它可以是如我們熟悉的歐幾里德空間般的一馬平川，沒有什麼複雜結構，術語叫「顯而易見」(trivial)，而代數拓樸計算出來的不變量則為零；也可以如前述的二維環一樣，有些有趣的內涵。這些不是顯而易見的相空間拓樸，也在物質的物理特性上顯現前所未見的新現象。拓樸相變講的就是從一個用拓樸不變量標記的相轉變到另一個拓樸不變量的相，譬如從一個拓樸顯而易見的相轉變為拓樸非顯而易見的相。

自從拓樸相變的概念被提出後，許多新的現象被以之預測、發現、解釋，譬如量子霍耳效應 (quantum Hall effect)、拓樸絕緣體 (topological insulator)、狄拉克半金屬 (Dirac semimetal)、凡爾半金屬 (Weyl semimetal) 等紛紛出籠，至今仍方興未艾，其中的物理現象只能以迷人二字名之。像是拓樸絕緣體之中的確是絕緣態，但是其表面則存有導電態，而且導電電子的運動方向與電子自旋方向垂直，這絕對是新的物理現象。有些回顧的文章劈頭就說從秩序參數的概念轉到拓樸相變的概念是個典範移轉 (paradigm shift)，我覺得這不是溢美之詞，因此得獎也是實至名歸。

看到拓樸相變的蔚盛有兩個想法：一是無用之用、一是學科之間的相互提攜。當初伽羅瓦建構群論 (group theory) 時，只是用來證明五次方線性方程式沒有系統解的工具，沒有人知道它還能用來做什麼。到後來在物理、化學中大放異彩。物理中的原分子、凝態物理、高能物理等次學科沒有它簡直做不下去。當初學拓樸時，只知道它是幾何學的基礎，後來在高能物理與凝態物理中，發現也迭出佳績，成為我們對世界認知的基礎知識。所以要學術研究能與民生掛鉤、創新，恐怕是個自我矛盾的說法。無用之用才是大用的例子在學術界屢見不鮮。

幾年前諾貝爾物理獎得獎作品是高能物理弱電作用中的希格斯粒子 (Higgs particle) 的發現，當初希格斯在建立模型時曾經借用凝態物理中自發對稱破缺 (spontaneous symmetry breaking) 的概念，因此解決了基本粒子質量來源之謎。半個世紀之後，凝態物理又從高能物理借來代數拓樸的概念，開創了一片新領域。我曾經在此二領域中穿梭，對於學科之間的比肩相互提攜自然特別有感受。