日本宮城地震是台灣九二一地震的幾倍大？

這是常見的新聞標題，更聳動的寫法是它等於幾個原子彈的威力？但是在新聞報導中常看到錯的離譜的敘述，而這些錯誤的報導一再被引述。其實只要溫習一下國中學過的數學，自己都可以得到正確的答案。

一般地震尺度的通用敘述為芮氏尺度 (Richter Magnitude Scale) ，它表示的基本是綜合的橫向最大位移。用綜合一詞是因為測量的標的可能不同，有的是局部振幅，有的是表面波振幅。對常用的幾個定義有興趣的，可以上維基百科網站路瞧瞧 (http://en.wikipedia.org/wiki/Richter_magnitude_scale) 。這些振幅的表示基本上是以10為基底的對數值 (log₁₀) 。日常中我們常用的，還有測量聲音振幅的分貝，也是以10為基底的對數值。

對數有個特性，基本上以芮氏尺度表示相差一級，其真正的振幅就相差10倍；8級地震振幅比7級地震振幅大10倍，9級地震振幅比7級地震振幅大100倍。宮城地震芮氏尺度為9，而九二一地震芮氏尺度為7.3，所以宮城地震是九二一地震的10至100倍之間。

要得到稍為精確一點的數字就要複習一下國中學過的對數，並且記得一下一些數字。

Log₁₀ 10 = 1

Log₁₀ 1 = 0

Log₁₀ a^.b = Log₁₀ a + Log₁₀ b

Log₁₀ aⁿ  = n Log₁₀ a

這就是Log₁₀對數所需要知道的一些性質。另外還需要知道一些數字：

Log₁₀ 2 = 0.3010

Log₁₀ 3 = 0.4771

Log₁₀ 7 = 0.8450

這些對數值查對數表即知，或者在搜尋網路上打Log 2等，它也會給出立即的答案。這些數字雖然不如e (= 2.71828)、π (= 3.1415926..) 等重要，但是在日常的數字估算中卻是心中必備的資料庫。其他1到10之間的對數值都可以從這幾個數及性質推論。譬如

Log₁₀ 5 = Log₁₀ 10/2 = Log₁₀ 10 － Log₁₀ 2 = 1－0.3010 = 0.6990 ~ 0.7

Log₁₀ 9 = Log₁₀ 3² = 2 Log₁₀ 3 = 2 × 0.4771 = 0.9542

等。

現在可以來算兩個地震振幅之間的倍數了。二者相差9 – 7.3 = 1.7 的對數值，轉換成一般數值約等於

10^1.7 = 10¹ × 10^0.7 ~ 10 × 5 = 50

所以宮城地震的振幅約是九二一地震的50倍。沒有任何一個媒體報導給對這個數字。

為什麼芮氏尺度以及分貝要用這麼彆扭的對數單位？因為數量級的差距在一般人的心中是很模糊的。2和5在所有人心中清楚而明確，但是十億與一兆呢？西方的數字撇節法是3位，我們的撇節法是4位，因此每每看洋片中提及million、billion時，下面的中文字幕通常就錯的一蹋糊塗。所以一般人的心中數量級的觀念是比較模糊的。另外，對於橫跨了好幾個數量級的事物，用對數表達也比較簡潔。像是50分貝與100分貝之間如果真要以絕對數字相比，1後面可要接50個0。

芮氏尺度測量的是振幅，主要的是反應在感覺搖晃的程度。另一種量度的方式是釋放的能量，而這二者是有直接的關係。學過高中物理的都應該記得能量正比於振幅的3/2次方。所以在芮氏尺度上振幅相差1 (也就是振幅的絕對倍數相差10倍)，其釋放的能量就相差10^3/2 ~ 31倍；如果芮氏尺度相差2，則釋放的能量就相差10^2×2/3 = 1000倍。能量釋放與地震能造成的破壞有關。所以新聞報導喜歡用更聳動的標題：等於幾顆原子彈的威力？這次的報導是等於256顆投到長崎原子彈 Fat Man的威力。Fat Man 的能量在90 × 10¹²  Joul (焦耳，能量的單位，記起來了麼？) 左右。而9級地震所釋放的能量是2 × 10¹⁸ Joul，二者之間的倍數是2.2 × 10⁴ ，媒體也沒報導對。但是原子彈爆炸是空爆，對地表造成直接的傷害；而地震釋放的能量有許多是作用在地殼上，所以對地表建物的傷害沒有那麼大，也許這還勉強說的通。以釋放能量的觀點來看，兩個地震之間的倍數為50^3/2 ~ 350倍。

熟記對數運算有許多好處。如果有人突然問你2¹⁰⁰ 是多少？你不必是天才就可以告訴這個數大約是1 × 10³⁰ ，因為

Log₁₀ 2¹⁰⁰ = 100 × 0.3010 ~ 30.1

所以是個31位數。又因為對數的小數點以下是0.1，比0.3010 小，所以開頭的第一個數一定是1。我還可以告訴你最後一位數是6，這是從數論中模數 (module) 的幾項性質就可以推論來的。可是關於這個麼，嘿，借句鹿鼎記中康熙對韋小寶講的話：「這個太難了，不教你」。