什麼是動能？

大二上《近代物理》時，老師好沒來由的問了一個問題：「什麼是動能？」那時是七Ｏ年代中期，雖然物理系不再是聯考第一志願，但楊、李得物理諾貝爾獎的餘暉尚在，班上同學儘有的是以第一志願考進來的。對於剛開始登入堂奧的課程，既是興奮、又滿心敬畏。猜想在這樣的課堂上問這樣狀似簡單的問題，怕是有深奧的意涵在。整個教室氣氛靜肅，陷入苦思。台上老師對於這樣的反應顯然有點不耐，點了班代來回答。班代是個女同學，成績不錯，但被點到之後只是帶著靦腆的表情低頭站著，還是不敢貿然做答。老師發怒了，「笨，二分之一 mv 的平方都不會！」課堂的氣氛一下子化開了，許多人忍不住噗嗤一笑，儘管老師正在更加怒不可遏的數落同學如何的不用功。別鬧了，能考進這兒以物理為志業的，那個不是在國中就把這式子玩得通透，用得著進最高學府來學這式子嗎？

但這問題後來卻纏繞著我，而且經常突如其來的上心頭。老師講的顯然不是我要的答案。在後來的學習、研究過程中，這問題好似在滴水下的石頭，有一天終被穿透。穿透那一時刻，真有豁然開朗的感覺，Eureka！

物理學家－或者直說是人類好了－對於問題處理的手段其實非常有限。拿會計來當例子好了，複式簿記最主要的精神是管理進出。在進項與出項都計入後，期初與期末的差能被正確解釋後，結帳才算完事。錢不會憑空消失，更不會憑空增加。物理裏的大部份方程式也是在做相同的事，只是關心的對象不同。

許多物理教科書的第一章從單位講起，以前學的時候總覺得興味索然。但是單位至關緊要。好的物理學家都有些本事，能做 off-hand 估算，而且結果八九不離十。要領是抓緊要估量物理量的單位。單位對了，至少數量級就錯不了。在所有的物理現象中，有三個基礎單位都會用的著：長度、時間和質量。在國際標準單位 (SI) 中它們分別是公尺、秒和公斤。這些單位的大小取值一點也不科學，只是出於歷史的偶然。然而它們的性質卻至關緊要。在物理的範疇中，物理量都是由這些單位來表示的，譬如速度的單位是 公尺/秒。能量的單位是焦耳 (joule)，以基礎單位表示，焦耳是 公斤．公尺^2/秒。

物理學最早期時最有興趣的題目之一是動力學 (dynamics)，基本上是理解物體運動的因由並且用以之預測運動的軌跡。這是個困難的題目，為了研究這個題目，牛頓 (Issac Newton) 和萊布尼玆 (Gottfried Wilhelm von Leibniz) 各自獨立發展出微積分。以前數學的範疇分為代數 (algebra)、幾何 (geometry) 和分析 (analysis)，微積分屬於分析的範疇。現在的數學不興這麼分，是以模式 (model)稱之，而微積分就是運動的模式 (model of movement)。可見微積分與動力學是怎麼樣的體用交纏。

言歸正傳。對於位置、速度、動量、加速度等這些隨時間變化的量我們有什麼手段來管理？回到前面提的方法，用簿記的方法，管制進出。那麼在這些關於運動的量中，那個量像錢一樣，不會憑空產生、也不會憑空消失？換句話說，它在經歷一段時間後其總量是不變、是守恆 (conserved) 的？以SI的三種基礎單位來拼湊，這就是公斤．公尺^2/秒，也就是能量的單位焦耳。如果以運動學的諸種常數來表達，這就是 mv^2。其實當初萊布尼玆對動能的定義就是如此。然而考慮到與其它種類能量的轉換以及一些物理式子表達的簡潔，後來動能的定義就再乘以 1/2，這就是目前的動能定義。

物理量的定義源於我們能處理、掌握它的方式：在時間的變化中，能量是守恆的，因此動能會如此定義。此一守恆的主題不斷的在其它的物理現象中出現。像在量子力學中的薛丁格方程式 (Schrodinger’s Equation)、愛因斯坦的質能守恆式甚至處理流體的白努利定律 (Bernoulli’s Law) 等，都是能量守恆的重複展現。

這是我今年在教大一新生時講的動能。我很高興他們知道了為什麼動能是長得這個模樣，而不是背來的。