這是一個困擾物理學家八十年之久的問題，層次近乎哲學。這個問題的答案直至 2015 年十月份才由一個堅實的實驗蓋棺定論。2015 年是廣義相對論一百周年，廣義相對論徹底顛覆了人們對時空的想法，2015年也是愛因斯坦提出 EPR (Albert Einstein, Boris Podolsky, Nathan Rosen) 佯謬 (EPR paradox) [1] 的整八十周年，但是實驗證明愛因斯坦是錯的，雖然這無損於愛因斯坦頂上的光環。
量子力學
在解釋標題之前，先要鋪陳一下背景。上個世紀初的兩大物理支柱，除了相對論之外就是量子力學。量子力學有兩個異於常理的特性：一個是內在機率 (intrinsic probability) 的特性，另一個是測量本身是物理性質的一部份。一般統計中講機率，是指對一個大群體中由於眾多個體行徑各異所衍生出的不確定性。但是在量子力學中即使是單一個體，其物理行徑仍有機率的特性。譬如一個光子射向一個稜鏡，它有機會被反射，也有機會穿透折射。即使我們知道此刻光子的狀態，也無法決定性的預知它碰到稜鏡後的準確行徑。對於這個特性，愛因斯坦一直無法接受，「上帝不與世界玩骰子」是愛因斯坦對量子力學此一特性的異議。至於測量，在量子力學之前只是量測物理量的一個手段，物理實存的性質與量測是沒有關係的。但是在量子力學之中，量測是物理性質的一部份。廣為人知的測不準原理的一個較普遍的說法是如果要測量一個電子的位置就需要用光子來探測，但是光子打到電子之後，其動量也會隨之改變，因此不可能同時準確測量電子的位置和動量。事實上，這就是說測量是物理現象本質中的一部份。測量也與前述的機率特性有關。一個粒子的未來行徑含有機率的不確性，這個特性由機率波來描述。但是當粒子被測量後，機率的特性就被移除了。以前面光子與稜鏡的例子來說，當光子在稜鏡之後被測量到了，被稜鏡反射的機率就消失了。術語說，這是機率波的崩潰 (collapse of probability wave)。
EPR 佯謬
愛因斯坦一直不能接受量子力學這些奇異的行徑，在1935 年愛因斯坦提出 EPR 佯謬的論文，於其中愛因斯坦指出了跟標題相關的佯謬。假設有 A、B 兩個電子交互作用後形成一量子態，然後A、B二電子背道而馳。這兩個電子由於交互作用，產生了一些相關性。譬如原來的狀態總角動量為 0，作用後產生的兩個電子由於角動量守恆，其總角動量也要為 0。電子的自旋是一種角動量，如果其中一電子之自旋為 +1/2，則另一個電子之自旋必定為 
。然而由於內在機率的特性，這 A、B 兩電子的自旋在未被測量之前，我們無法得知其自旋值。在這A、B二電子分離飛行很久之後，當我們設法量測 A 電子的自旋，譬如為 +1/2，則 B 電子的自旋必為，彷彿A、B 兩個電子彼此瞬間以超光速的通訊方式告訴另一方自己的狀態。這就是 EPR 佯謬。在這篇文章中，愛因斯坦下結論說量子力學不是完備的，因為內在機率及測量的特性使得這種超光速的相關性存在。
。然而由於內在機率的特性，這 A、B 兩電子的自旋在未被測量之前，我們無法得知其自旋值。在這A、B二電子分離飛行很久之後，當我們設法量測 A 電子的自旋，譬如為 +1/2，則 B 電子的自旋必為，彷彿A、B 兩個電子彼此瞬間以超光速的通訊方式告訴另一方自己的狀態。這就是 EPR 佯謬。在這篇文章中，愛因斯坦下結論說量子力學不是完備的，因為內在機率及測量的特性使得這種超光速的相關性存在。
局部真實性
傳統的物理要遵守兩個基本原則：局部性 (locality) 與真實性 (realism)，局部真實性
(local realism) 只是個簡稱。先說簡單的。局部性其實是指局部相對性因果 (local relativistic causality)，是說一個物體要另影響另外一個物體得有個媒介，而這媒介傳遞的速度不能超過光速，而且遵守因果關係，有因才有果。比較費解的是真實性，這是傳統的哲學議題。以前每次看翻譯的哲學書談這議題時就頭疼，什麼「實有」啊、「存在」啊。真實性與量子力學中的觀察有關，就是沒被真正測量過的結果與真正測量過的真實是一樣的。用愛因斯坦的白話來說，“Locality meant no instantaneous (“spooky”) action at distance;
realism meant the moon is there even when not being observed.” 月亮不看它的時候它還在！
隱藏局部變數
隱藏局部變數 (hidden local variable) 是 EPR佯謬的解決方法之一。這個方法是說其實有一個變數遵守局部性而未能被觀察到。如果有這個變數存在，則加入它後，只要我們有辦法知道這隱藏局部變數，量子力學加上它就可以決定性 (deterministic) 的預測物理的行徑，內在的機率性就會被移除掉；而在被觀測時會出現什麼數值都可以被預測。這樣的理論在愛因斯坦的眼中當然就是完備的，一切都可以預測。只是這也帶來另一個哲學議題：在有隱藏變數的理論中，一切是命定，人不可能有自由意志 (free will)。
貝爾不等式 (Bell’s inequality) [2]
在學科學的人的對話中如果有人以「這是個哲學的問題」來回答問題，在我的感覺有時是有點揶揄的味道，這是比 “It is irrelevant” 委婉一點的說法。其中的意涵是這不是科學的範疇。科學範疇內的預測要能夠被證為偽 (falsifiable)。但是現在科學學習的最高學位都是以哲學博士名之，這又是怎麼一回事？古代哲學的議題譬如宇宙的源起、生命的源起、物質的組成、因果關係、人的性格、因果關係、實存等，現在都獨立成為一個學科而轉換成以科學的方法來探討。只是探討的方式改變了，不只限於言辭的辯論與思維的探索，其預測要可以被驗證為偽，就是以科學的方式來探討。對於局部真實性這樣類似哲學的命題，也需要這樣的轉換。
1964 年 John
Steward Bell 針對了 EPR 佯謬提出了著名的貝爾不等式。他首先以相關性 (correlation) 的概念來確立以數學方式來敘述 EPR 佯謬以及隱藏局部變數。
所謂相關性就是一般統計裏講到兩個變數，譬如 x 和 y，的相關性。如果 x 增加而 y 也跟著增加，我們就說 x 與 y 正相關。如果 x 增加而 y減少，我們就說 x 與 y負相關。對於相關性，我們給予一個數值來敘述其相關性：完全正相關的，譬如 x與 x，其相關性為 1；完全負相關的，譬如x與
，其相關性為
，不相關的，其相關性為 0。貝爾在假設符合局部真實性以及有隱藏局部變數的理論前提下，得到了一個相關性的不等式，這個不等式給定了符合上述條件的一些相關性組合的最大值。
，其相關性為，不相關的，其相關性為 0。貝爾在假設符合局部真實性以及有隱藏局部變數的理論前提下，得到了一個相關性的不等式，這個不等式給定了符合上述條件的一些相關性組合的最大值。
這是極為要緊的一步。原來好似哲學的命題被具體轉化成一個數學式子，因而其預測也可以被檢驗為真或假，哲學的命題可以落在科學的範疇之中了！
以量子力學來計算這組相關性，發現結果大於貝爾不等式的上限，所以符合局部真實性以及有隱藏局部變數的理論不能解釋量子力學！但這只是理論的預測，物理是實證的科學，最終的裁判要訴諸實驗。
量子纏結 (quantum entanglement) [3]
這些相關性怎麼來的？在量子力學的語言，它來自於量子纏結。量子纏結是粒子交互作用後粒子的一些物理變量之間就存有一些相關性。傳統物理下，交互作用下的粒子的一些變數也會有一些相關性，譬如由於能量守恆、動量守恆或者是角動量守恆，這些交互作用粒子的相對應變量也攜帶由於遵守守恆律的而產生的相關性。但作用之後粒子東自東、西自西，再也沒有相關。如果有隱藏局部變數，由於我們現在無法偵知它的存在，所以我們對於一些物理量的預測也有些或然性，所以這些物理量不是立即可以被預測，但粒子之間的一些物理量存在相關性。量子力學中由於內在機率以及測量的特性，交互作用的粒子在分離後，一些物理性質仍然維持相關的特性，像前述電子對的例子。也就是說，這些粒子在作用後它們沒有辦法被分別對待，而必須要以一個集體的量子狀態來對待，這就是量子纏結。粒子的量子纏結要在其中的粒子被測量時才會被解除。
真實的量子纏結的例子像是以光線激發軌道中的電子，能量升高的電子會放出光子。此時電子與放出的光子就形成量子纏結狀態，而電子的自旋與光子的自旋有高度的相關性。另一個例子是用兩個光子同時射像稜鏡。每個光子都有被反射或穿透稜鏡的機率。由於兩個光子是不可辨的相同粒子，假設結果是一個穿透、一個反射，我們分不清原來的光子那一個被反射、那一個穿透，結果這兩個光子就形成量子纏結狀態。
破綻 (loophole)
自從貝爾發表了他的論文後，近五十年間物理學家前扑後繼的做實驗來驗證貝爾不等式。總結來說，這些實驗各自留有一些破綻，使得對於貝爾不等式的驗證不能畢其功於一役。破綻大致有兩類：一類是偵測破綻 (detection loophole)，另一類是局部性破綻 (locality loophole)。前者是因為關於量子現象的量測極為困難，我們實驗時可能只偵測到一部份的成功量子纏結事件。以此計算出來的實驗數据，我們必須假設這些被成功測量的事件是所有量子纏結事件的公平取樣 (fair sampling)。由於這個假設，結論沒有辦法下的斬釘截鐵。局部性破綻則是由於在量測兩個分離粒子的物理量 (譬如自旋) 的位置距離不夠遠，兩個量測時間的誤差就容許其中一個粒子偷偷以不高於光速的某種方式向另一粒子送出其被測量物理量的值的訊息，讓另一粒子依此測量值「正常表現」。由於這些破綻，對於 EPR 佯謬一直都沒有決定性的結論。
局部真實性之死
2015年十月在
Nature Letter上發表了一篇實驗的論文 “Loophole-free Bell’s inequality violation using electron spins separated
by 1.3 km”，終於蓋棺定論了。
這個實驗是這樣設計的：在相隔 1.3公里的兩個實驗室中，各自產生一個電子―光子的量子纏結狀態。用最近研發的熱門工具奈米鑽石 (nano diamond) 中的氮缺陷 (一個氮原子取代了鑽石中的碳原子) 保存電子及其自旋狀態，讓兩個地方的光子飛向中間的第三個實驗裝置。算好距離及時間，兩個光子可以同時抵達中間實驗裝置中的稜鏡。由於前述的理由，兩個光子形成了量子纏結。這兩個光子與原來兩個電子各形成量子纏結，於是這兩個電子透過這兩個光子的量子纏結也形成量子纏結。以術語來說，這是纏結交換 (entanglement swapping)。這樣的設計很聰明的克服了前述的破綻，所以標題首字用
loophole-free名之。因為實驗可以只計算兩個光子成功形成量子纏結的事件，所以沒有偵測破綻的問題；又因為兩個光子成功形成量子纏結之後立即測量兩邊電子自旋，兩邊電子沒辦法偷偷透過某種神秘機制交換彼此測量結果的訊息―之前送過去的光子才剛剛到而已，現在要再送一個過去來不及了！
對這兩個電子自旋相關性的測量無可置疑的證明其相關性大於貝爾不等式的上限。對不起，愛因斯坦，量子力學天生不完備！而 Nature的 News & Views在同時以 “Death by experiment for local
realism” 為標題，對此一紛擾了八十年的
物理哲學問題蓋棺定論。
如果局部真實性無法與量子力學匹配，是局部性還是真實性出了問題？我的看法是真實性。量子力學以及更高階的量子電動力學 (Quantum ElectroDynamics; QED)、量子場論 (quantum
field theory) 都有局部性的公設，而實驗結果完全符合理論預測。但是月亮你看不看它的時候還在嗎？在巨觀的世界也許是直覺的認為理所當然，但是在微觀的世界則未必。觀察、測量是物理現象必要的一部份，不談測量就沒有真實性。
知識的不完備
1931 首先由歌德
(Kurt Godel) 提出公設 (axiom) 數學的不完備性 [4]：有些主張
(proposition) 在給定公設的數學理論中無法判別真假，人類的知識從此缺角，然而這只是在人類抽象心智中的問題。從局部真實性之死而定調量子力學天生是不完備的，這個衝擊更為切身，因為物理是自然的模型，而自然不容許人類對未來有完備的掌握。我們學得越多，覺得我們的知識越有限。不過也因為這不完備，讓我們的自由意志有存在的空間。
後記
這是上個月我在全國物理資優營對一群高中生演講的題目，演講後有一群人圍著問問題、討論，我想應該有些人聽入了幾分。我試著將數學式子刪去，只以文字來敘述。我想高中生能聽懂一些的，也許對非物理專業的也會激發一些興趣吧！寫完後發現愛因斯坦發表 EPR論文的時間是歌德發表其不完備定理後的四年。以愛因斯坦對數學知識深入的程度，他不可能不知道歌德的不完備定理。在有這樣的知識下，他為什麼還堅持要完備的量子力學？這一點想來疑惑。
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