拓樸材料於半導體的應用

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來個難的。不是對臉友，是問我是否有能力將這個標題講清楚。

我的本行是髙能物理，做理論的要學過很多抽象的數學，許多人視之為畏途的微積分只是入門的第一課，接下來還有線性代數、微分方程等應用工具，還有髙等微積分和複變數，這只是學物理的基本功。要往高能物理走，拓樸、微分幾何、群論、李群、數論、代數拓樸、代數幾何怕是少不了。算一算，除了寫博士論文外，拿個數學的學位儘夠了。

其中在我學術歷程中最令我後悔的是拓樸沒在大學的時候學。硏究所時雖然努力補背景知識，但是年紀大，只能是知識，沒法子當本能了。

連結文中的第一個附圖是拓樸中鼎鼎有名的Mobius strip，還好這可以動手做實驗，講的清。剪一個紙條，如果將一個邊和相對的另一個邊粘起來，會得到一個圓筒。在圓筒外面拿隻筆繞著圓筒軸劃，繞過360度後就回到原奌，圓筒的內面卻是完全沒被觸及，乾淨無缺，所以它有兩個面。如果再把圓筒兩端粘在一起，就成了甜甜圈了。賣弄個術語，這是二維“緊緻面”除了球以外最簡單的東西了。

但是若把剛剛的紙條先扭個180度再粘合，這時就會得到Mobius strip了，這東西就只有一面。不信？拿隻筆沿著紙條中心劃，要繞720度才會回到原奌，且所有的面都被劃過了。顯然Mobius strip 與剛剛的圓筒有明顯的性貭差異，這性貭就是拓樸。而有些拓樸性質可以用代數的方法量化、計算，這就是代數拓樸。原先是髙能物理人受用的工具，現在又到凝態物理各領風騷數十年。

要更難的？裁一個方形紙片，如果將兩個對邊都粘合，就是剛剛講的甜甜圈。可是兩個對邊要粘合前都先扭轉180度呢？這就是Klein bottle https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_bottle。哦，別費勁，粘不成的，至少在我們存在的三度空間是粘不成的。看維基的示意圖，它的一部份從自己中穿出，這在更髙維度的空間才能放得平整。有些人就是有辦法在腦中想像、安置這些複雜的拓樸物體，這就是本能。年紀大了再學，不成了。

高樓與戒煙

穿梭於摩天大樓之間，又想起過去在華爾街討生活的日子。衣著光鮮亮麗，自西裝至皮鞋，依例要比投資銀行家的行頭貴兩倍，顯得一副不缺錢的樣子，做的卻是求爺爺告奶奶的行當。只是數目大些，自覺得債多不愁。

今日又穿梭在某金融區中，區中建築髙聳，訪的地頭老大辦公室比101還髙上好幾層。上下班時間搭電梯比搭地鐵還難，出入都有管制。臨了，地頭老大的美麗秘書相送到門口叫車，與同行的友人相談甚歡。這位美麗的秘書告訴友人一則小內幕：由於上下樓頗費時，而吸煙只能在室外的空地，煙槍下樓吸煙每人每天只限十分鐘。得仔細規劃，早上五分鐘，下午五分鐘。如果上下樓稍微擔誤了時間，可能要同時點兩根才解癮。

在此摩天大樓上班，解癮如此費事，煙就戒了吧！

學棋見心性

以前讀《傳記文學》時，記得有這麼一號人物「雙槍老董」，內容講什麼，都忘了，只記得雙槍是指兼長象棋和圍棋。能上《傳記文學》，自然是棋藝不凡。認識的人中頗有這樣的能耐的，譬如已故的沈君山教授，大家都知道他橋藝和圍棋一樣精湛，其實他的象棋也下的極好，但知道的人較少。我較熟的一位師友劉教授是沈君山年輕時的摯友，其實也三樣都精，據説他和夫人搭檔在美國也拿過橋牌冠軍，圍棋、象棋也都行。年輕時跟沈君山下棋，圍棋輸的總能在象棋上找回來。

同時講象棋圍棋，自然是我都喜歡。象棋學得早，是市場棋。路邊觀棋摸索過規則後，以後邊看棋、邊下棋野戰長棋，居然也慢慢的下到少遇對手。有一次母親跟我外祖父提我也會下棋，外祖父試手。下了三十餘手後失先，被迫以馬兌相。外祖父頷首説：「不錯」，這已是高中時的事。現在回想起來，那時的棋力大概在二、三級之間，遇到沒正式學棋的對手，這樣的棋力大概就可以應付自如。

考上大學那年暑假，與外祖父前前後後下了三十二盤棋。我是全神灌注、竭盡心力，外祖父是邊看書、一邊回神閒下。總算和了一盤，從此棋力大進，外祖父評了棋力也認為如此。只記得有一次對奕時，有位壯年人在旁不語觀棋。棋後跟外公講：「能與先生對奕三十幾手而不失先，也算難得了。」後來知道，他是外祖父的兩個象棋徒弟之一。外祖父盛年時是日據時代，沒有象棋比賽。二戰以後，開始有象棋比賽，這兩位徒弟先後得過全省冠軍。

下棋很反應性格的。問外祖父什麼時候棋力最強？是十八歲，最擅長當頭炮疊馬進中兵，由中路兵、馬、砲強攻，是大開大闔的棋路，與他學的南少林拳氣味相似。我想如果是學太極拳的，大概會喜以仙人指路開局—先出七路兵，無為之為。我既然棋是市場棋學來的，中盤與殘局當然就是反覆捶鍊過的。棋力要再上層樓，就得規規矩矩的看開局棋譜。但象棋書與圍棋書實則不同；圍棋書可以乾看書，象棋書卻需在棋盤上擺譜，否則棋路變化容易混了。雖然年輕時也能同時下一、兩盤盲棋，但是靠心中的圖像記憶行棋實在太耗費心神了！既不肯正襟危坐的擺譜，棋力就於此停滯淹留。技藝貪多又不肯勤於一技一藝、攻堅登堂入室，現在看來就是性格上的大弱點。

若説象棋是年少學的，像本能；那圍棋就比較像知識，後天學的。圍棋是上硏究所才常下，是上面説的那位劉教授提拔上來的。本來他讓六子都略嫌不夠，嫌我棋臭不肯下，念我象棋還能和他支應一、二，每星期就和我下一盤象棋、一盤圍棋。圍棋看書也可以長棋的，從開局、定石、中盤、手筋、官子都有棋書，買書看書，棋力就一路長，一兩年後就猜子分先下了。

棋力到什麼境界呢？沒比賽過，説不清。世界圍棋聯盟副主席項義先生—也是沈君山先生的棋友—有次在他台北寓所讓了二子棋。賽後他幫我覆盤，前面幾十手他沒說什麼，到了近百手的中盤，他質問我為什麼沒多長一手？當然是失算了，誤以為可以脫先搶下他處，但被多壓了一手，棋勢就江河日下。不是小時野戰長的棋，不能是本能。真上場，就會於緊要處錯手。更要緊的，下棋講究的是勝負心，圍棋到了緊要處—局面不明或稍劣，棋士往往會放勝負手一搏。而我下棋往往是雲淡風輕的心智逰戲，是勝亦喜、敗亦喜，這樣就全然不是奕棋的料。

更深一層的想，我真愛下棋嗎？也許跟愛看書一樣，怕讓心頭閒著，就得心中空靈、誠實的面對自我，問尖銳的問題，這也許才是最深層的恐懼。

後記：九幾年時，台灣開發的象棋程式已有四段以上的棋力，怎麼下也下不贏，那時就賭氣不下象棋了。去年的AlphaGo Zero更是令人心碎，先手、後手一猜，勝負已定，覺得下圍棋也是了然無趣。後來又想了想，人發明了汽車就不賽吧了嗎？又在網路下起了圍棋，有點忙、有點閒。